अतिपरवलयों frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(B) दिए गए अतिपरवलय एक-दूसरे के संयुग्मी हैं। अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $(\pm ae_1, 0)$ हैं,जहाँ $e_1 = \sqrt{1 + \f

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$2(a^2 + b^2)$

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(B) दिए गए अतिपरवलय एक-दूसरे के संयुग्मी हैं। अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $(\pm ae_1, 0)$ हैं,जहाँ $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ की नाभियाँ $(0, \pm be_2)$ हैं,जहाँ $e_2 = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ है।इन चार नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्णों की लंबाई $2ae_1$ और $2be_2$ है।समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes d_1 	imes d_2 = \frac{1}{2} 	imes (2ae_1) 	imes (2be_2) = 2abe_1e_2$ होता है।यहाँ $e_1 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$ और $e_2 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,क्षेत्रफल $= 2ab 	imes \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} 	imes \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} = 2(a^2 + b^2)$ प्राप्त होता है।

अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ की नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

आयताकार अतिपरवलय $xy = a^2$ की जीवा $PQ$,$x$-अक्ष को $A$ पर मिलती है। यदि $C(h, k)$ जीवा $PQ$ का मध्य-बिंदु है और $O$ मूल-बिंदु है,तो $\Delta ACO$ है:

$\lambda$ के वे मान,जिनके लिए बिंदु $(\lambda, \lambda-2)$ दीर्घवृत्त $4x^2+9y^2=36$ के अंदर और परवलय $y^2=x$ के बाहर स्थित है,संतुष्ट करते हैं:

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